一类非线性差分方程：正解的存在性、唯一性和渐近行为

我们研究类型为 $\ell_n = x_n ( \sigma_{n,1} x_{n+1} + \sigma_{n,0} x_n + \sigma_{n,-1} x_{n-1} ) + \kappa_n x_n$ 的非齐次非线性二阶差分方程的解 $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$，给定初始数据 $x_0 \in \mathbb{R}$, $x_1 \in \mathbb{R}^+$，其中 $(\ell_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^+$, $(\sigma_{n,0})_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^+$ 和 $(\kappa_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}$，左右 $\sigma$ 系数满足 $(\sigma_{n,1})_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^+$ 和 $(\sigma_{n,-1})_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^+$ 或 $(\sigma_{n,1})_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^+_0$ 和 $(\sigma_{n,-1})_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^+_0$。根据视角不同，这些方程要么源于与某些Shohat-Freud型指数权重函数相关的正交多项式，要么源于Painlevé离散方程$\#1$。