由簇代数产生的一族可积与不可积差分方程

考察由如下含一个参数的二阶非线性差分方程构成的一族方程： $$x_{n-1}x_nx_{n+1}=x_{n-1}+(x_n)^{\beta-1}+x_{n+1} \qquad(\beta\in\mathbb{N})$$ 由于上述方程源于秩为 2 的簇代数的种子突变，其解仅当 $\beta\leq3$ 时为周期解。为评估 $\beta\geq4$ 时的动力学行为，研究了与该差分方程等价的双有理映射的代数熵；当 $\beta=4$ 时其为零，而当 $\beta\geq5$ 时为正。这一事实表明 $\beta\leq4$ 的差分方程可积，而 $\beta\geq5$ 的则不可积。此外还表明 $\beta\geq4$ 的差分方程未通过奇点约束检验。这一事实与 $\beta=4$ 时方程的可线性化一致，并进一步印证了 $\beta\geq5$ 时方程的不可积性。