Frullani 类型积分中余弦差的收敛准则

对于 $p,q\in\mathbb{N}$ 且 $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$，我们研究一族不完全积分\n\n$$\int_0^\infty\frac{(\cos\alpha x-\cos\beta x)^p}{x^q}dx.$$\n\n我们给出参数区间 $(p, q; \alpha, \beta)$ 中积分收敛或发散的完整分类，并在所有收敛情形下给出显式闭式求解。分析还揭示了由三角函数幂展开系数自然产生的一族组合恒等式。作为同一种方法的进一步应用，我们研究涉及正弦差幂的类似积分类。这扩展了 2022 年 Laoharenoo 和 Boonklurb 的工作。