通过改进 Dirichlet 定理得到的一个动力 Borel-Cantelli 引理

令 $X\cong \operatorname{SL}_2(\mathbb R)/\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$ 为 $\mathbb R^2$ 中幺模格的空间，对任意 $r\ge 0$，记 $K_r\subset X$ 为所有非零向量的上确界范数至少为 $e^{-r}$ 的格的集合。这些是 $X$ 的紧嵌套子集，且 $K_0 = {\bigcap}_{r}K_r$ 为两个闭 horocycle 的并。我们利用以原点为中心的 $\mathbb R^2$ 中正方形的示性函数的 Siegel 变换的显式二阶矩公式，导出当 $r\to 0$ 时集合 $K_r$ 体积的渐近公式。结合 Kleinbock 与 Wadleigh 建立的 $\psi$-Dirichlet 数集合的零一律，这给出了关于收缩目标族 $\{K_r\}$ 的 $X$ 上测地流的一个新的动力 Borel-Cantelli 引理。