平均弯曲连续统的度量性质
动力系统
2012-03-30 v1 一般拓扑
摘要
我们研究在正密度尺度下弯曲的集合的 Hausdorff 维数的上下界。主要的技术要素是，对于每个连续统 K，构造一个 Borel 概率测度 \mu，使其在任意以 K 中点 x 为中心的球 B(x,r) 上，该测度被 r\exp(-g(x,r)) 的一个普适常数倍所约束，其中 g(x,r) > 0 是一个显式函数。连续统 K 恰好在 K 中那些当 r 趋于 0 时 g(x, r) 具有对数增长至无穷的点 x 处是平均弯曲的。通过维数的乘积公式，平均弯曲连续统的理论导出了 Cantor 集合 Hausdorff 维数的新估计。我们还证明了渐近平坦集合的 Hausdorff 维数为 1，以及渐近非多孔连续统具有最大维数。该理论的另一应用是复有理动力学中拓扑 Collet-Eckmann 映射的几何 Bowen 二分法。特别地，平均弯曲连续统具有动力学自然性，因为它们作为 Mandelbrot 集合边界上某个一般集合中参数所对应的二次多项式的 Julia 集合出现。
引用
@article{arxiv.1203.6501,
title = {Metric properties of mean wiggly continua},
author = {Jacek Graczyk and Peter W. Jones and Nicolae Mihalache},
journal= {arXiv preprint arXiv:1203.6501},
year = {2012}
}