波动度量空间的 Hausdorff 维数

对于紧连通集 $X\subseteq \ell^{\infty}$，我们定义了一个量 $\beta'(x,r)$，用于衡量 $X$ 在球 $B(x,r)$ 内被测地线曲线逼近的程度。随后我们证明存在 $c>0$，使得若对所有 $x\in X$ 和 $r<r_{0}$ 均有 $\beta'(x,r)>\beta>0$，则 $\dim X>1+c\beta^{2}$。这推广了 Bishop 和 Jones 的一个定理，并回答了 Bishop 和 Tyson 提出的一个问题。