关于格空间上对角流维数下降猜想

令 $X = G/\Gamma$，其中 $G$ 为李群、$\Gamma$ 为 $G$ 中格，令 $U$ 为 $X$ 中开集，并令 $\{g_t\}$ 为 $G$ 的单参数子群。考虑 $X$ 中其 $g_t$-轨道避开 $U$ 的点集；若流为遍历则该集测度为零。有猜想称此集的Hausdorff维数严格小于 $X$ 的维数。该猜想在 $X$ 紧致或 $G$ 为实秩 $1$ 单李群时已被证明。本文中我们证明此猜想对情形 $G=\textrm{SL}_{m+n}(\mathbb{R})$、$\Gamma=\textrm{SL}_{m+n}(\mathbb{Z})$ 及 $g_t=\textrm{diag} (e^{nt}, \dots, e^{nt},e^{-mt}, \dots, e^{-mt})$ 成立，事实上给出了余维数的有效估计。证明使用了流的指数混合以及 $\textrm{SL}_{m+n}(\mathbb{R})/\textrm{SL}_{m+n}(\mathbb{Z})$ 上高函数的积分不等式方法。我们还讨论了其在改进同时Diophantine逼近中Dirichlet定理问题上的一个应用。