指数相关衰减动力系统的定量复urrence 属性与强动力学巴尔-坎特利引理

设 $([0,1]^d, T, \mu)$ 为一个保 measure 的动力系统，其 H"older 连续函数的相关性呈指数衰减。假设 $\mu$ 相对于 $d$ 维 Lebesgue 测度 $\mathcal{L}^d$ 绝对连续，且密度函数 $h \in L^q(\mathcal{L}^d)$，其中 $q>1$。在 Underlying 动力系统的 mild 条件下，我们获得关于复urrence 的强动力学巴尔-坎特利引理：对于任意以坐标轴平行且以原点为中心的 hyperrectangle 序列 $\{R_n\}$，若 $$\sum_{n=1}^{\infty}\mathcal{L}^d(R_n)=\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}\chi_{R_k+\mathbf{x}}(T^k\mathbf{x})}{\sum_{k=1}^{n}\mathcal{L}^d(R_k)}=h(\mathbf{x})\quad\text{for $\mu$-a.e.$\textbf{x}$},$$ 其中 $\mathbf{x}\in[0,1]^d$，$R_k+\mathbf{x}$ 为 $R_k$ 的平移。该结果适用于 Gauss 图、$\beta$-变换和扩张 torus endomorphisms。