非连通 $K$-理论的分解定理

本文旨在给出非连通 $K$-理论的一个分解定理版本。我们的定理以特例形式包含了 Quillen 的分解定理、Waldhausen 的胞腔滤子定理以及心定理。在此意义上，我们对 Thomason-Trobaugh 论文中 Thomason 的问题给出了肯定回答。我们引入了胞腔结构与分解空间的概念，我们的主定理表述了分解空间的非连通 $K$-理论按其胞腔结构的心的非连通 $K$-理论所表示的结构。我们证明中的一个特征是“动机式”的，即我们用于证明该定理的 $K$-理论性质仅用到范畴同伦不变性、局部化与余连续性。另一方面，众所周知 $K$-理论的分解定理类比对 Hochschild 同调理论不成立。从这一点看，我们可以说分解定理在 dg-范畴上不是“动机式”的。为克服这一两难，分解空间的概念不应由 dg-范畴的语言表述。前三个章节致力于我们稳定 $(\infty,1)$-范畴模型的基础，我们将在此基础上给出分解空间的描述。