利用伪态基对连续 Schrödinger 谱进行有效离散化的判据

我们考虑具有（部分）连续谱的哈密顿量 $\hat H$，并研究一组通过有限个平方可积函数基的对角化获得的伪态在精确连续本征态上的投影所满足的零重叠条件。对于每个投影伪态，该条件意味着在对应于伪连续矩阵本征值的所有能量处出现零点，除了与该伪态相关的本征能量。这一特征最初在 Laguerre 基表示的库仑连续谱中被观察到 [M. McGovern et al., Phys. Rev. A 79, 042707 (2009)]，后来利用 Laguerre 函数的特殊性质进行了解释 [I. B. Abdurakhmanov et al., J. Phys. B 44, 075204 (2011)]。我们证明了零重叠条件成立的充分条件是算符 $\hat Q \hat H \hat P$ 的像空间维数为一，其中 $\hat P$ 是投影到基张成子空间上的投影算符，$\hat Q = \hat 1 - \hat P$ 是其补空间。我们证明该条件对一维自由粒子问题使用谐振子基以及库仑问题使用 Laguerre 基均成立，从而为后者提供了另一种证明。零重叠条件确保，例如在电离碰撞或激光-原子相互作用过程中，由含时演化伪态展开系统波函数投影到 $\hat H$ 本征态上得到的跃迁概率是渐近稳定的。