Calderón-Zygmund 算子端点混合范数估计的一个反例

已知端点混合范数估计 $|| \, ||Tf(x,y)||_{L_{x}^{p}}||_{L_{y}^{\infty}} \lesssim || \, ||f(x,y)||_{L_{x}^{p}}||_{L_{y}^{\infty}}$ 一般对 Calderón-Zygmund 算子 $T$ 不成立。在本文中，我们证明当 $p=2$ 时，即使将上述估计的右侧替换为更大的 $|| \, ||e^{x^2+y^2}f(x,y)||_{L_{y}^{\infty}}||_{L_{x}^{\infty}}$，该估计对由核 $K(x,y)=\frac{xy}{2\pi(x^2+y^2)^{2}}$ 给出的双重 Riesz 变换仍不成立。作为推论，我们将证明混合范数估计 $|| \, ||Tf(x,y)||_{L_x^{p}}||_{L_y^{\infty}} \lesssim|| \, ||f(x,y)||_{L_y^{\infty}}||_{L_x^{p}}$ 对双重 Riesz 变换及 $p \geq 2$ 不成立。