椭圆算子具大平流项时主特征值的反例

已有大量研究关注在 $\Omega$ 为有界区域且平流项 $\mathbf{v}$ 满足某些限制条件下，对应于椭圆特征值问题 \begin{align*} -\Delta\varphi(x)-2s\mathbf{v}\cdot\nabla\varphi(x)+c(x)\varphi(x)=\lambda(s)\varphi(x),\quad x\in \Omega, \end{align*} 的主特征值 $\lambda(s)$ 当 $s\to+\infty$ 时的收敛性。本文构造了一个无穷振荡的梯度平流项 $\mathbf{v}=\nabla m(x)\in C^1(\Omega)$，使得主特征值 $\lambda(s)$ 当 $s\to+\infty$ 时不收敛。据我们所知，这是保证主特征值不收敛的首个结果。