具有大无散漂移项的主特征值问题的渐近行为

本文考虑以下具有大无散漂移项的主特征值问题：\n\begin{equation}\label{0.1} -\varepsilon\Delta \phi-2\alpha\nabla m(x)\cdot\nabla \phi+V(x)\phi=\lambda_\alpha \phi\ \,\ \text{in}\, \ H_0^1(\Omega),\tag{0.1} \end{equation}\n其中区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^N (N\ge 1)$ 是有界且具有光滑边界 $\partial\Omega$，常数 $\varepsilon>0$ 和 $\alpha>0$ 分别是扩散系数和漂移系数，$m(x)\in C^{2}(\bar{\Omega})$，$V (x)\in C^{\gamma}(\bar{\Omega})~(0<\gamma<1)$ 是给定的函数。对于一类无散漂移项，其中 $m$ 是 $\Omega$ 中的调和函数且在 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 中没有首次积分，我们证明了当 $\alpha\rightarrow+\infty$ 时 (0.1) 的主特征对 $(\lambda_\alpha, \phi)$ 的收敛性，这解决了 [H. Berestycki, F. Hamel and N. Nadirashvili, CMP, 2005] 中提出的一个开放问题的特例。此外，我们进一步研究了当 $\alpha\rightarrow+\infty$ 时 (0.1) 的主特征对 $(\lambda_\alpha, \phi)$ 的精细极限剖面，这展示了大无散漂移项对主特征对 $(\lambda_\alpha, \phi)$ 的可见影响。