离散量子群作用下的 Baum-Connes 猜想的完整表述

基于我们早先的工作（\cite{GK}），我们给出离散量子群的 Baum-Connes 猜想的一个版本。给定这样一个量子群 $\cla$，我们借 \cite{cuntz} 的思想构造一个有向的 $C^*$-代数族 $\{\cle_F \}$（$F$ 在某个合适的指标集上变化），使得 $\cla$ 在每个 $\cle_F$ 上有满足 \cite{GK} 假设的自然作用，这使得可以如 \cite{GK} 中那样定义“解析组装映射”，记为 $\mu^{r,F}_i$，$i=0,1$，从 $\cle_F$ 的 $\cla$-等变 $K$-同调群到“约化”对偶 $\hat{\cla_r}$ 的 $K$-理论群（更多细节见 \cite{GK} 及其中的参考文献）。因此，我们可以定义 Baum-Connes 映射 $\mu^r_i : \stackrel{\rm lim}{\longrightarrow} KK_i^\cla(\cle_F,\IC) \raro K_i(\hat{\cla_r}),$ 并且在经典情形，即 $\cla$ 是离散群 G 的 $C_0(G)$ 时，上述映射对 $i=0,1$ 的同构等价于 Baum-Connes 猜想。此外，我们验证了它对任意有限维量子群成立，并对 $SU_q(2)$ 的对偶得到部分结果。