周期坐标与 Teichmüller 距离的比较

设 $QD^1(\mathcal{M}_{g,n})$ 为黎曼曲面模空间 $\mathcal{M}_{g,n}$ 的单位余切丛。在 $QD^1(\mathcal{M}_{g,n})$ 上存在一个度量 $d_E$，它局部地与由短及中等长度鞍形联络给出的周期坐标系统所定义的欧几里得度量双向 Lipschitz 等价。我们证明如下：若 $\mathcal{M}_{g,n}$ 装备 Teichmüller 度量 $d_T$，则投影 $(QD^1(\mathcal{M}_{g,n}),d_E) \to (\mathcal{M}_{g,n},d_T)$ 局部为 Hölder 映射。我们给出了关于指数关于 $g$ 和 $n$ 的下界。