关于由广义康托集给出的黎曼曲面的长度谱

对于相对于序列 $\omega=\{ q_n \}_{n=1}^{\infty} \subset (0,1)$ 的广义康托集 $E(\omega)$，我们考虑黎曼曲面 $X_{E(\omega)}:=\hat{\mathbb{C}} \setminus E(\omega)$ 以及 $X_{E(\omega)}$ 的 Teichmüller 空间 $T(X_{E(\omega)})$ 上的度量。若 $E(\omega) = \mathcal{C}$（中间三分之一康托集），我们发现，在 $T(X_{\mathcal{C}})$ 上，Teichmüller 度量 $d_T$ 定义了与长度谱度量 $d_L$ 相同的拓扑。此外，我们容易验证，若 $\sup q_n =1$，则 $d_T$ 在 $T(X_{E(\omega)})$ 上不与 $d_L$ 定义相同拓扑。另一方面，若 $\inf q_n =0$，则不易判断这些度量是否定义相同拓扑。本文中，我们证明对某些满足 $\inf q_n =0$ 的 $\omega=\{ q_n \}_{n=1}^{\infty}$，这两个度量在 $T(X_{E(\omega)})$ 上定义不同拓扑。