谱求和规则反映拓扑与量子几何不变量

拓扑不变量是反映量子系统全局性质的基本特征，然而其探索主要局限于静态（直流）输运和横向（霍尔）通道。在本工作中，我们将拓扑系统中频率分辨电导率$\sigma(\omega)$的谱求和规则进行了推广，并展示了纵向通道的求和规则可通过拓扑和量子几何不变量来表达。我们发现对于无色散（平坦）陈带，该规则表示为$\int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \, \text{Re}(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) = C \Delta e^2$，其中$C$是陈数，$\Delta$是拓扑能隙，$e$是电荷。在涉及色散陈带的情形中，该规则由量子度规不变量和Luttinger不变量定义：$\int_{-\infty}^{+\infty} d\omega \, \text{Re}(\sigma_{xx} + \sigma_{yy}) = 2 \pi e^2 \Delta \sum_{\boldsymbol{k}} \text{Tr} \, \mathcal{G}_{ij}(\boldsymbol{k})$+(Luttinger不变量)，其中$\text{Tr} \, \mathcal {G}_{ij}$是Fubini-Study度规的不变量（定义Wannier轨道的展宽）。我们进一步讨论了拓扑和量子几何不变量在谱求和规则中的物理作用。我们的方法可适用于各种拓扑结构和系统维度。