极大$(2k-1,2k+1)$-核与极大$(2k-1,2k,2k+1)$-核之间关系的组合证明

近年来，同时是不同 $t$ 值的 $t$-核的整数分拆引起了极大兴趣。当 $s$ 与 $t$ 互素时，Olsson 与 Stanton 已确定了极大 $(s,t)$-核 $\kappa_{s,t}$ 的大小。当 $k\geq 2$ 时，Amdeberhan 关于极大 $(2k-1,2k,2k+1)$-核 $\kappa_{2k-1,2k,2k+1}$ 的猜想也已被众多作者证实。在本工作中，我们分析了极大 $(2k-1,2k+1)$-核与极大 $(2k-1,2k,2k+1)$-核之间的关系。在先前工作中，第一作者注意到对所有 $k\geq 1$，$$\vert \, \kappa_{2k-1,2k+1}\, \vert = 4\vert \, \kappa_{2k-1,2k,2k+1}\, \vert$$ 并请求对这一意外恒等式给出组合解释。此处，利用算珠理论、分拆剖分以及关联三角数与平方数的初等结果，我们给出了这样一个组合证明。