携带 Gibbs 分布集的余代数轨道分类

余代数轨道 $O_\lambda \subseteq {\mathfrak g}^*$ 的 Lie 群 $G$ 的余代数轨道若满足以下条件，则称为携带 Gibbs 分布集：即所有 $x \in {\mathfrak g}$ 中，函数 $\alpha \mapsto e^{-\alpha(x)}$ 关于余代数轨道上的 Liouville 测度可积的集合具有非空内部 $\Omega_\lambda$。我们描述了所有具有此属性的有限维 Lie 代数余代数轨道的分类。在 Souriau Lie 群热力学的语境下，子集 $\Omega_\lambda$ 是几何温度，作为余代数轨道上 Gibbs 测度的族的 参数空间。相应的 Fenchel--Legendre 变换将 $\Omega_\lambda/{\mathfrak z}({\mathfrak g})$ 与余代数轨道 $O_\lambda$ 的凸包内部光度同构。这提供了一种关于 underlying information geometry 的有趣视角。我们还表明，仅仅 $e^{-\alpha(x)}$ 对某个 $x \in {\mathfrak g}$ 可积，即可暗示 $\Omega_\lambda \neq\emptyset$，且对于一般的哈密顿作用，Gibbs 测度的存在意味着动量图的范围由上述余代数轨道 $O_\lambda$ 组成。