求解代数 Riccati 方程的一类 Petrov-Galerkin Krylov 方法

本文提出了一类基于（块）有理 Krylov 子空间投影的方法，用于求解大规模连续时间代数 Riccati 方程 (CARE) $0 = \mathcal{R}(X) := A^HX + XA + C^HC - XBB^HX$，其中 $A$ 为大型稀疏矩阵，$B$ 和 $C$ 为低秩满秩矩阵。CARE 被投影到块有理 Krylov 子空间 $\mathcal{K}_j$ 上，该子空间由形如 $(A^H - s_kI)^{-1}C^H$ 的块张成，其中 $s_k, k = 1, \ldots, j$ 为某些位移点。所考虑的投影无需正交，并且是由与 $\mathcal{K}_j$ 关联的块有理 Arnoldi 分解中出现的矩阵构建的。求解由此产生的投影 Riccati 方程得到小型方阵 Hermitian 矩阵 $Y_j$。然后构造对 $X$ 的 Hermitian 低秩近似 $X_j = Z_jY_jZ_j^H$，其中 $Z_j$ 的列张成 $\mathcal{K}_j$。残差范数 $\|R(X_j )\|_F$ 可以通过一个易于获取的 $2p \times 2p$ 矩阵的范数高效计算。我们建议通过截断 $X_j$ 的小特征值来进一步降低近似解 $X_j$ 的秩。该截断近似解可以解释为 Riccati 残差投影到 $\mathcal{K}_j$ 的子空间上的解。这为我们提供了一种高效评估所得残差范数的方法。文中给出了数值算例。