大规模微分 Riccati 方程的 Krylov 子空间逼近分析

我们考虑对称微分 Riccati 方程 $\dot{X} = AX + XA^T + Q - XSX$, $X(0)=X_0$ 的 Krylov 子空间逼近方法。该方法基于将大规模方程投影到由矩阵 $A$ 以及 $X_0$ 和 $Q$ 的低秩因子所张成的 Krylov 子空间上。我们证明该方法具有结构保持性，即它保留了精确流的两个重要性质：精确流的正性以及单调性。我们还提供了理论上的先验误差分析，表明该方法具有超线性收敛性。数值实验验证了这一收敛行为。此外，我们推导了一种高效的后验误差估计，并讨论了结合数值解秩截断的多时间步进策略。