一种用于逼近大规模矩阵函数弗雷chet 导数的新型 Krylov 子空间方法

我们提出了一种新型 Krylov 子空间方法，用于逼近大规模矩阵函数 $f(A)$ 在方向 $E$ 上的弗雷chet 导数 $L_f(A, E)$ 的矩阵向量乘积 $L_f(A, E) \vc{b}$，这一任务在涉及矩阵函数的敏感性分析中自然出现，例如网络的中心性度量。它也出现在特征求解包含矩阵函数的优化问题的梯度方法中，例如拟合演化方程到观测解轨迹。从原理上说，已知恒等式 $$f\left( \begin{bmatrix} A & E \ 0 & A \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} 0 \ \vc{b} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_f(A, E) \vc{b} \ f(A) \vc{b} \end{bmatrix},$$ 允许直接应用如 Arnoldi 算法等标准 Krylov 子空间方法来解决此问题。然而，这伴随着主要劣势，即涉及的块三角矩阵具有不利的谱特性，这会阻碍收敛分析，以及在一定程度上影响观察到的收敛。为避免这些困难，我们提出了对 Arnoldi 算法的一种新型修改，旨在更好地保持块三角结构。从而，允许我们通过对 $A$ 数值范围上 $f'$ 的最佳多项式逼近来界定修改方法的收敛。若干数值实验阐述了我们的发现。