矩阵函数 Krylov 子空间逼近的后验误差估计

本文分析了用于逼近矩阵函数 $f(A)$ 乘以向量 $v$ 的 Krylov 子空间方法。针对 $e^{-\tau A}v$ 的 Arnoldi 逼近，利用我们建立的新界和广义误差展开式，推导了两个可靠的后验误差估计。其中一个类似于线性系统近似解的残差范数，另一个则关键地取决于 Saad 提出的 $e^{-\tau A}v$ Arnoldi 逼近误差展开式的首项。我们证明了这两个估计均能可靠地度量真实误差范数，且第二个估计从理论上证实了 Saad 的一个经验论断。文中通过引入由给定函数 $f(z)$ 递归定义的特定函数 $\phi_k(z)$（针对特定节点），获得了充分光滑的 $f(z)$ 的类 Krylov 逼近的误差展开式，从而推广了 Saad 关于 $e^{-\tau A}v$ Arnoldi 逼近的结果。类似地，结果表明广义误差展开式的首项可用作某些其他矩阵函数乘以 $v$ 的类 Krylov 逼近的可靠后验估计。数值算例展示了这些后验误差估计在 $e^{-\tau A}v$、$\cos(A)v$ 和 $\sin(A)v$ 的类 Krylov 逼近中的有效性。