草图化与截断多项式 Krylov 方法：矩阵函数的求值

在随机数值线性代数策略中，所谓的草图化过程正作为一种有效的降维手段涌现，用于加速 Krylov 子空间方法的计算，例如线性方程组的求解、特征值计算以及矩阵函数的逼近。尽管大量实验证据表明，草图化 Krylov 求解器相比标准 Krylov 方法可大幅提升性能，但这些方法的许多特性仍未被探索。我们推导了一种新的草图化 Arnoldi 型关系，由此可获得若干不同的新理论结果。这些结果增进了我们对草图化 Krylov 方法的理解，特别是解释了为何频繁出现的、远在 A 的谱区域之外的草图化 Ritz 值不会对 f(A)b 的草图化 Krylov 方法收敛产生负面影响。我们的发现还有助于在几种可能的等价表述中，根据其数值稳定性性质识别出最合适的草图化逼近。这些结果也被用于分析草图化 Krylov 方法在逼近矩阵函数作用时的误差，对当前文献中的相关理论作出了显著贡献。