通过草图技术与最近 $S^{\top\!}S$-正交矩阵的 $S^{\top\!}S$-SVD

草图技术在数值线性代数中广受欢迎，用于加速最小二乘问题的求解。草图矩阵 $S$ 的所谓 $\varepsilon$-子空间嵌入特性已被广泛用于刻画问题残差范数，因为该过程在（经典）Frobenius范数或Euclidean范数下不再是最优的。基于Gilbert、Park和Wakin（Proc. of SPARS-2013）推导的关于草图矩阵 $SA$ 的SVD的现有结果，本文提出了一种新的 $A$ 的分解——$S^{\top\!}S$-SVD，该分解以高概率成立，且其左奇异向量在由草图矩阵 $S$ 定义的（半）范数下是正交的。这种新分解的计算成本低于标准SVD，同时在概率置信度下保留了奇异值。$S^{\top\!}S$-SVD 似乎是分析文献中几种基于草图技术质量的正确工具，文中给出了相关实例。例如，可以简单地界定最先进的QR分解随机算法中基于草图的正交矩阵偏离（标准）正交性的距离。作为应用，将最近正交矩阵的经典问题推广到新的 $S^{\top\!}S$-正交性，并使用 $S^{\top\!}S$-SVD 来求解。此外还推导出了解决方案质量的概率界限。