Sketched 线性方程组的数值分析与迭代求解器的停止准则

随机化的子空间嵌入方法在求解线性最小二乘 (LS) 问题方面产生了巨大影响，通过降低其行维度，使得问题成为随机化或 sketched LS (sLS) 问题，并使用 sLS 问题的解作为 LS 问题的近似解。本工作对 sLS 问题进行数值分析，建立了诸多理论性质，并展示了这些性质在迭代求解器的最有效和高效使用中的关键作用。首先，我们建立了 LS 与 sLS 问题解之间残差范数差的紧致界，这是理解 sLS 问题背后原理的第一关键结果。然后从 backward error 的角度出发，我们证明 sLS 问题的解是某个扰动 LS 问题的解，其 backward error 最小，并量化了嵌入质量如何影响残差、解误差以及 LS 和 sLS 问题的规范方程的相对残差范数。这些理论结果使我们能够提出新的创新且可靠的通用停止准则，用于求解 sLS 问题的迭代求解器，这些准则动态监控 LS 问题本身的迭代求解器的稳定模式，并在最早的迭代次数终止。数值实验验证了理论界限，证明新的停止准则可靠工作且在不牺牲可达精度的前提下显著降低计算成本。