关于一类求解大规模代数 Riccati 方程低秩算法的研究

在 [3] 中已表明，四种看似不同的用于计算大规模连续时间代数 Riccati 方程（CAREs）$0 = \mathcal{R}(X) := A^HX+XA+C^HC-XBB^HX$ 解 $X$ 的低秩近似解 $X_j$ 的算法，在相同参数下生成相同的序列 $X_j$。Hermitian 低秩近似 $X_j$ 形如 $X_j = Z_jY_jZ_j^H$，其中 $Z_j$ 为仅有少数列的矩阵，$Y_j$ 为小型方阵 Hermitian 矩阵。每个 $X_j$ 生成低秩 Riccati 残差 $\mathcal{R}(X_j)$，使得残差范数易于估计，从而允许高效的终止准则。本文提出一类生成此类 CAREs 低秩近似解 $X_j$ 的新方法。该类中每个算法生成的 $X_j$ 序列均与先前已知的四种算法相同。该方法基于块有理 Arnoldi 分解及由 $A^H$ 和 $C^H$ 张成的关联块有理 Krylov 子空间。将考虑通用算法的两个特定版本；其中一个将被证明是 RADI 算法的重新发现，另一个相较于 RADI 算法（在使用 Sherman-Morrision-Woodbury 公式与直接求解器求解所出现的线性方程组时）允许稍高效的实现。此外，我们的方法允许一次添加多个位移。