Riccati 类矩阵微分方程的低秩加对角近似

我们考虑计算时间依赖的 $d\times d$ 大型半正定 (PSD) 矩阵的可处理近似问题，这些矩阵被定义为某矩阵微分方程的解。我们提出使用“低秩加对角”的 PSD 矩阵作为近似，其存储的内存代价与高维 $d$ 呈线性关系。为将微分方程的解约束在该子集内，我们遵循动态低秩近似的方法，在所有时刻将导数投影到该子集的切空间上。我们推导了该投影的闭式公式，并证明经过一些处理后，可以以与 $d$ 呈线性的数值代价进行计算，从而实现可处理的计算。与以往基于纯低秩近似的方法不同，对角项的加入使得我们的近似成为可逆矩阵，且能够以与 $d$ 呈线性的代价求逆。我们将该技术应用于 Riccati 类方程，随后应用于两个特定问题。首先是对我们近期提出的 Wasserstein 梯度流在近似贝叶斯推断中进行后验分布高斯近似的低秩近似；其次是针对高维系统的一种新颖的 Kalman 滤波器低秩近似。数值模拟验证了相关结果。