全纯 $\mathbb{C}^*$-作用可线性化的一个刻画

设 $G$ 为约化复李群，全纯地作用于 $X=\mathbb{C}^n$。（全纯）线性化问题问是否存在 $\mathbb{C}^n$ 上的全纯坐标变换使得 $G$-作用变为线性。等价地，是否存在 $G$-等变双全纯映射 $\Phi \colon X\to V$，其中 $V$ 是一个 $G$-模？范畴商 $X /\!/G$ 有一个称为 Luna 层化的内在层化，其层由 $G$ 的约化子群的表示的同构类标记。假设存在如上所述的 $\Phi$。则 $\Phi$ 诱导出双全纯映射 $\phi\colon X/\!/G\to V/\!/G$，它是分层保持的，即具有给定标记的 $X/\!/G$ 的层同构地映到具有相同标记的 $V/\!/G$ 的层。线性化问题的反例构造了这样的 $G$ 作用，使得 $X/\!/G$ 不与任何 $V/\!/G$ 分层双全纯。我们的主要定理表明，对于满足 $G^0=\mathbb{C}^*$ 的约化群 $G$，$X/\!/G$ 到某个 $V/\!/G$ 的分层双全纯的存在不仅是线性化的必要条件，也是充分条件。事实上，我们无需假设 $X$ 双全纯于 $\mathbb{C}^n$，只需 $X$ 是一个 Stein 流形。