一种保持 Casimir 不变量的球面理想流体力学长时间模拟格式

球面上的不可压二维 Euler 方程是流体力学中的一个基本模型。其解的长时间行为在很大程度上未知；统计力学预测一种稳态涡度构型，但文献中详细的数值结果与此理论相矛盾，反而给出持续的非定常性。此类数值结果是通过引入人工超黏性来解释涡度向更小尺度的级联而获得的。然而，超黏性破坏了相流的基本几何结构（例如 Casimir 函数的守恒），因此可能影响定性的长时间行为。本文发展了一种用于长时间模拟的高效数值方法，该方法保持精确流的几何特征，特别是 Casimir 的守恒。在非旋转球面上的长时间模拟随后揭示了对于一般初始条件的三种可能结局：形成 2、3 或 4 个相干涡结构。这些数值结果与统计力学理论相矛盾，并表明先前建议以 4 个相干涡结构作为一般行为的数值结果仅展示了一个特例。通过球面上点涡动力学的可积性理论，我们提出了一个理论模型，描述了所观察到的三种 regime 出现的机制。我们表明，第一积分 $\gamma$（总角动量与涡度平方的平方根之比）与长时间行为之间存在关联：较小的、居中的和较大的 $\gamma$ 最有可能分别产生 4、3 或 2 个相干涡形成。因此，我们的发现表明，可能的长时间行为可由第一积分 $\gamma$ 预测。