经典 Cartan 域的 2-真全纯像

受对称化双圆盘与四面体块这两个特殊域可定义为经典 Cartan 域的 2-真全纯像的启发，我们提出一种研究有界对称域的 2-真全纯像的通用方法。我们展示了 2-真全纯映射的一些特殊性质（例如某些对合自同构的构造等），并列举了（在双全纯意义下）由有界对称域的 2-真全纯像所得到的可能的域。这引导我们考虑当 $n\geq 2$ 时的一族新域 $\mathbb L_n$。设 $L_n$ 为 $n$ 维 IV 型（Lie 球）不可约经典 Cartan 域，$\Lambda_n : L_n \to \Lambda_n (L_n):=\mathbb L_n$ 为重数 $2$ 的自然真全纯映射。结果表明 $\mathbb L_2$ 与 $\mathbb L_3$ 分别双全纯于对称化双圆盘与四面体块。在本文中，我们以统一的方式研究族 $\{\mathbb L_n : n \geq 2\}$ 的函数几何性质，从而推广了诸多早期论文关于对称化双圆盘与四面体块类似性质的结果。我们证明 $\mathbb L_n$ 不能被双全纯于某些凸域的域穷尽。对于 $n \geq 3$，任意 $\mathbb L_n$ 的真全纯自映射均为自同构。此外，自同构群 Aut$(\mathbb L_n)$ 同构于 Aut$( L_{n-1})$，且 $\mathbb L_n$ 对于 $n\geq2$ 是非齐性的。另外，我们证明对于 $n \geq 3$，$\mathbb L_n$ 不是鲁启铿域。