关于对称化双圆盘（symmetrized bidisc）的几何

我们研究 2 复维流形对称化双圆盘 $\mathbb{G}$ 的自同构群在自身上的作用。该自同构群为 3 实维，它将 $\mathbb{G}$ 叶状化为均为 3 实维超曲面的叶层，仅有一个例外即 royal variety。这引导我们考察 Isaev 对全部 Kobayashi 双曲 2 复维流形的分类，其中全纯自同构群实维数为 3，该分类由 Isaev 研究。事实上，我们给出了对称化双圆盘与 Isaev 列表中域 $$\{(z_1,z_2)\in \mathbb{C} ^2 : 1+|z_1|^2-|z_2|^2>|1+ z_1 ^2 -z_2 ^2|, Im(z_1 (1+\overline{z_2}))>0\}$$ 之间的双全纯映射。Isaev 称之为 $\mathcal D_1$。通向该双全纯映射之路铺就以关于 $\mathbb{G}$ 的多种几何洞见。双全纯映射带来若干推论，包括对对称化双圆盘的两个新刻画和对 $\mathcal D_1$ 的若干新刻画。在关于 $\mathcal D_1$ 的结果中，特别有趣的是 $\mathcal D_1$ 是一种“对称化”。当我们对 $\Omega_1$ 或 $\mathcal{D}^{(2)}_1$（Isaev 的记号）进行对称化（在最后一节上下文中适当定义）时，得到 $\mathcal D_1$。这两个域 $\Omega_1$ 和 $\mathcal{D}^{(2)}_1$ 均在 Isaev 列表中，他提到它们与 $\mathbb{D} \times \mathbb{D}$ 双全纯等价。我们给出了这些域与 $\mathbb{D} \times \mathbb{D}$ 之间的显式双全纯映射。