超图着色的 $2^{(\log N)^{1/10-o(1)}}$ 硬度

我们证明，为具有 $N$ 个顶点的2可着色8一致超图着色 $2^{(\log N)^{1/10-o(1)}}$ 种颜色是拟NP难（quasi-NP-hard）的。最近超图着色的困难性备受关注。Guruswami, H{\aa}stad, Harsha, Srinivasan and Varma 证明了为2可着色8一致超图着色 $2^{2^{\Omega(\sqrt{\log\log N})}}$ 种颜色是拟NP难的。他们的结果是通过将标准标签覆盖（Label Cover）与基于低次长码（Low Degree Long Code）的内部验证器组合，利用Dinur和Guruswami的Reed-Muller码测试得到的结果。使用不同方法，Khot和Saket构造了Label Cover的新变体，并将其与二次码（Quadratic Code）组合，展示了为2可着色12一致超图着色 $2^{(\log N)^c}$ 种颜色（其中 $c$ 约为1/20）的拟NP硬度。他们的Label Cover构造基于CSP实例的叠加复杂性（superposition complexity）新概念。随后Varma改进了与内部验证器的组合，给出了针对8一致超图的相同硬度结果。我们的构造同时使用二次码和低次长码，并建立在Khot和Saket的工作之上。我们提出了一种不同的方法来构造具有叠加硬度的CSP实例，观察到当赋值数量为奇数时，在叠加中满足约束等同于“奇覆盖（odd-covering）”该约束。我们采用低次长码以保持构造高效。在分析中也调整并推广了Dinur和Guruswami在分析概率可检查证明系统时的关键定理之一。