在 2-可着色及近 2-可着色超图中寻找独立集的困难性

本研究探讨了在 2-可着色或近 2-可着色超图中寻找独立集的困难性，后者指移除少量顶点及其关联超边后可进行 2-着色的超图。确切地说，若移除超图中 $\epsilon$ 比例的顶点及其所有关联超边后，剩余超图是 2-可着色的，则称该超图为 $(1-\epsilon)$-近 2-可着色。具体而言，我们证明了以下结果：对于任意小的常数 $\gamma > 0$，存在常数 $\xi > 0$，使得给定一个具有 $n$ 个顶点的 4-均匀超图，若其为 $\epsilon = 2^{-(\log n)^\xi}$ 的 $(1 - \epsilon)$-近 2-可着色超图，则寻找包含 $n/(2^{(\log n)^{1-\gamma}})$ 个顶点的独立集是 quasi-NP-hard 的。对于任意常数 $\epsilon, \delta > 0$，给定一个具有 $n$ 个顶点的 $(1-\epsilon)$-近 2-可着色 3-均匀超图作为输入，寻找包含 $\delta n$ 个顶点的独立集是 NP-hard 的。假设 d-to-1 Games 猜想成立，则有以下结论：对于任意常数 $\delta > 0$，给定一个具有 $n$ 个顶点的 2-可着色 3-均匀超图，寻找包含 $\delta n$ 个顶点的独立集是 NP-hard 的。关于近 2-可着色 3-均匀超图中独立集的困难性结果此前仅在假设 Unique Games 猜想下已知；本工作无条件地证明了该结果。对于 2-可着色 3-均匀超图中的独立集，我们证明了首个强困难性结果，尽管需假设 d-to-1 Games 猜想。我们关于近 2-可着色 4-均匀超图的结果，为在具有常数种颜色（近）可着色的超图中寻找独立集提供了首个接近多项式的困难性因子。这在一定程度上弥合了此前最佳下界 poly(log n) 与算法上界 $n^{\Omega(1)}$ 之间的差距。