在 2-可着色超图中寻找独立集及可满足 CSP 的困难性

本研究重新审视了 Hastad [Has01]、Guruswami 等人 [GHS02]、Holmerin[Hol02] 和 Guruswami[Gur00] 在可满足 Max-E3-SAT、Max-Ek-Set-Splitting 以及 2-可着色 4-一致超图中的独立集问题工作中使用的 PCP 验证器。我们提供了更简单且更高效的 PCP 验证器，以证明以下改进的困难性结果：假设 NP\not\subseteq DTIME(N^{O(loglog N)})，则不存在多项式时间算法，能在给定一个 n 顶点的 2-可着色 4-一致超图时，找到一个包含 n/(log n)^c 个顶点的独立集（其中 c > 0 为某常数）。不存在多项式时间算法，能满足大小为 n 的可满足 Max-E3-SAT 实例中 7/8 + 1/(log n)^c 比例的子句（其中 c > 0 为某常数）。对于任意固定的 k >= 4，不存在多项式时间算法，能在大小为 n 的可满足 Max-Ek-Set-Splitting 实例中找到一个划分，分割 (1 - 2^{-k+1}) + 1/(log n)^c 比例的 k-集合（其中 c > 0 为某常数）。我们在 2-可着色 4-一致超图中独立集的困难性因子相较于 Guruswami 等人 [GHS02] 和 Holmerin[Hol02] 之前的结果有了指数级改进。同样，我们在 Max-E3-SAT 和 Max-Ek-Set-Splitting 中超越随机赋值阈值的 (log n)^{-c} 不可近似性，相较于 [Has01]、[Hol02] 和 [Gur00] 中证明的先前界限也有了指数级改进。我们结果中使用的 PCP 验证器避免了先前工作中使用的变量偏置参数，这不仅简化了分析，还导致了改进的困难性阈值。除了来自傅里叶分析的标准技术外，对于第一个提到的结果，我们使用了基于 Mossel 等人 [MOS13] 工作中一般乘积空间上均匀反向超收缩性的马尔可夫链混合估计。