闭流形上的逆谱问题

本文考虑闭连通 Riemann 流形 $(M,g)$ 上的两个逆问题。第一个问题是 Gel'fand 逆边值谱问题的直接类比。表述如下：假设 $M$ 被一个超曲面 $\Sigma$ 分成两个分量，且已知 $(M,g)$ 上 Laplace 算子的特征值 $\lambda_j$ 以及相应特征函数 $\phi_j$ 在 $\Sigma$ 上的 Cauchy 数据，即 $\phi_j|_{\Sigma},\partial_\nu\phi_j|_{\Sigma}$，其中 $\nu$ 是 $\Sigma$ 的法向量。我们证明这些数据唯一确定 $(M,g)$，即相差一个等距同构。在第二个问题中，给定的数据要少得多，即仅 $\lambda_j$ 和 $\phi_j|_{\Sigma}$。然而，如果 $\Sigma$ 由至少两个分量 $\Sigma_1, \Sigma_2$ 组成，在假设 $M$ 和 $\Sigma$ 满足某些条件的情况下，我们仍能确定 $(M,g)$。这些条件是用沿 $\Sigma_i$ ($i=1,2$) 切割 $M$ 所得到的带边界流形的谱来表述的，且具有通用性质。我们还考虑了 $M$ 上其他与上述相关的逆问题，其数据比所述的谱数据更容易从测量中获得。