带定向同态的群环中的反对称元

设 $R$ 为交换环，$G$ 为群，$RG$ 为其群环。令 $\phi_{\sigma} : RG\to RG$ 表示由 $\phi_{\sigma} (\sum r_{g}g) = \sum r_{g} \sigma (g) g^{-1}$ 定义的对合，其中 $\sigma:G\to \{\pm 1\}$ 是一个群同态（称为定向同态）。若 $RG$ 中的元素 $x$ 满足 $\phi_{\sigma} (x) =-x$，则称其为反对称元。我们完全刻画了使得 $RG$ 的反对称元可交换的群 $G$ 及其定向。