精确可解算子的均匀化谱问题：多项式本征函数的渐近行为

考虑精确可解线性微分算子 $T_{\la}=\sum_{i=0}^k Q_{i}(z)\la^{k-i}\frac {d^i}{dz^i}$ 的均匀化谱束，其中每个 $Q_{i}(z)$ 是次数至多为 $i$ 的多项式，$\la$ 为谱参数。我们证明，在温和的非退化假设下，对于所有足够大的正整数 $n$，存在谱参数 $\la$ 的恰好 $k$ 个不同的值 $\la_{n,j}$（$1\le j\le k$），使得算子 $T_{\la}$ 具有次数为 $n$ 的多项式本征函数 $p_{n,j}(z)$。根据其本征值的渐近行为，这些本征函数可分为 $k$ 个不同的族。我们猜想并证明了三个基本性质的序列版本：极限 $\Psi_{j}(z)=\lim_{n\to\infty} \frac{p_{n,j}'(z)}{\la_{n,j}p_{n,j}(z)}$ 存在，是解析的，并且在 $\bCP$ 中几乎处处满足代数方程 $\sum_{i=0}^k Q_{i}(z) \Psi_{j}^i(z)=0$。作为推论，我们得到了一类代数函数，该类函数在 $\infty\in \bCP$ 附近具有一个分支，该分支可表示为紧支撑概率测度的柯西变换。