一类线性微分算子特征多项式的渐近展开

考虑一个 $M$ 阶线性微分算子，$M\geq 2$，$$\mathcal{L}^{(M)}=\sum_{k=0}^{M}\rho_{k}(z)\frac{d^k}{dz^k},$$ 其中 $\rho_M$ 是一个首一复多项式，满足 $degree[\rho_M]=M$，且 $(\rho_k)_{k=0}^{M-1}$ 是复多项式，满足 $degree[ \rho_k ]\leq k, 0\leq k \leq M-1$。已知其特征多项式的零点计数测度在弱星意义下收敛到测度 $\mu$。我们在 $\mu$ 支集之外的紧子集上获得了 $\mathcal{L}^{(M)}$ 特征多项式的渐近展开。特别地，我们解决了 G.~Masson 和 B.~Shapiro 在“On polynomial eigenfunctions of a hypergeometric type operator,” Exper. Math., vol.~10, pp.~609--618, 2001 中提出的猜想。