指数和零点区域

我们考虑 $C^n$ 中的如下两个闭集。一个是对角线 D，由 $(z, z, z, ... z)$ 给出。另一个是 $A = \{(z_1, z_2, z_3, ... z_n): e^{z_1} + e^{z_2} + e^{z_3} + ... + e^{z_n} = 0\}$。显然 $D \cap A$ 为空集。我们可以问它们之间的距离是多少。关于此问题，Stolarsky [1] 证明了距离 $d$ 由 $d^2 = (\log n)^2 + O(1)$ 给出。一些简单的计算会使人相信，位于 $A$ 上的点 $(k, 0, 0, ... 0)$（其中 $k = \log (n-1) + \pi i$）是离对角线最近的点之一。我们证明事实确实如此，至少对充分大的 $n$ 成立。这给出了 $d^2 = |k|^2 (1 - 1/n)$。