与 Weyl 变换相关的 Zak 变换及 R^{2n} 上扭曲平移系统

我们引入了与 Weyl 变换相关的 $L^{2}(\mathbb{R}^{2n})$ 上的 Zak 变换。利用该变换，我们定义了一个括号映射，并证明扭曲平移系统 $\{T^{t}_{(k,l)}\phi : k,l\in \mathbb{Z}^{n}\}$ 是框架序列当且仅当对几乎处处的 $(\xi,\xi^{'})\in \Omega_{\phi}$ 有 $0<A\leq \left[\phi,\phi\right](\xi,\xi^{'})\leq B<\infty$，其中 $\Omega_{\phi}=\{(\xi,\xi^{'})\in \mathbb{T}^{n}\times\mathbb{T}^{n} : \left[\phi,\phi\right](\xi,\xi^{'})\neq 0\}$。我们还证明了关于系统 $\{T^{t}_{(k,l)}\phi : k,l\in \mathbb{Z}^{n}\}$ 为 Riesz 序列的类似结果。对于属于主扭曲平移不变空间 $V^{t}(\phi)$ 的给定函数，我们给出了典范双正交函数存在的充要条件。进一步，我们用 Muckenhoupt $\mathcal{A}_{2}$ 权函数刻画了系统 $\{T^{t}_{(k,l)}\phi : k,l\in\mathbb{Z}\}$ 构成 $V^{t}(\phi)$ 的 Schauder 基的条件。