基于 WKB 方法且带自适应步长控制的高振荡区薛定谔方程格式

本文关注求解一维定态薛定谔方程在高振荡区的有效数值方法。作为一种解析-数值混合方法，与常微分方程的标准格式不同，它无需分辨每一次振荡。我们基于文献[2]中由 Wentzel、Kramers、Brillouin 三位物理学家命名的 WKB 步进法构建，并从两方面扩展：通过比较文献[2]中的 $\mathcal{O}(h)$ 与 $\mathcal{O}(h^{2})$ 方法，我们为 WKB 方法设计了一个自适应步长控制器。尽管该 WKB 方法在高振荡区非常高效，但它无法在转向点附近使用。因此，我们针对此类区域引入了一种自动化方法切换，在振荡区选择 WKB 方法，在平滑区选择标准 Runge-Kutta-Fehlberg 4(5) 方法。类似方法近期在文献[9, 4]中已有提出，但仅针对 $\mathcal{O}(h)$ 方法。因此，我们在两个例子（空间区间 $[0,\,10^{8}]$ 上在 $x=0$ 处有一个转向点的 Airy 函数，以及具有两个转向点的抛物柱函数）上将我们的新策略与他们的方案进行比较，并阐明新方法在精度与效率上的优势。