半经典 regime 下薛定谔方程的量子算法

求解含时薛定谔方程是量子算法的重要应用领域。我们考虑半经典 regime 下的薛定谔方程。此处由于小参数 $\hbar$，解表现出强烈的多尺度行为，即量子态的动力学与所诱导的观测值可发生于不同的空间与时间尺度。此类薛定谔方程有着诸多应用，包括 Born-Oppenheimer 分子动力学与 Ehrenfest 动力学。本文考虑经典计算机上伪谱 (PS) 方法的量子类比。获得了关于门计数相对于 $\hbar$ 与精度 $\varepsilon$ 的估计。发现所需量子比特数 $m$ 仅关于 $\hbar$ 对数缩放。当解具有直至 $\ell$ 阶的有界导数时，对称 Trotter 方法具有门复杂度 $\mathcal{O}\Big({ (\varepsilon \hbar)^{-\frac12} \mathrm{polylog}(\varepsilon^{-\frac{3}{2\ell}} \hbar^{-1-\frac{1}{2\ell}})}\Big),$ 前提是伪谱方法中的对角酉算符可用 $\mathrm{poly}(m)$ 次操作实现。然而，当物理观测值为所需输出时，时间积分中的步长可选择为与 $\hbar$ 无关。此情况下的门复杂度降为 $\mathcal{O}\Big({\varepsilon^{-\frac12} \mathrm{polylog}( \varepsilon^{-\frac3{2\ell}} \hbar^{-1} )}\Big),$ 其中 $\ell$ 再次表示解的光滑度。