$\mathbb{C}^N$ 中域上全纯函数的边界狂野性态

给定 $\mathbb{C}^N$ ($N\geq 2$) 中的全纯域 $D$，我们证明在 $D$ 的全纯函数空间 $\mathcal{O}(D)$ 中，沿任意有限长度路径趋于 $D$ 边界时其聚簇集达到极大的全纯函数集合是剩余的、稠密可线化的且可空间化的。此外，若 $D$ 是 $\mathbb{C}^N$ 中的严格伪凸域，并给定一族合适的光滑曲线 $\gamma(x,r)$（$x\in bD$，$r\in [0,1)$）终止于 $bD$ 上一点，则我们构造出 $\mathcal{O}(D)$ 的一个可空间化、稠密可线化且剩余的子集，其每个元素 $f$ 满足如下性质：对 $bD$ 上任意可测函数 $h$，存在序列 $(r_n)_n \in [0,1)$ 趋于 $1$，使得对 $bD$ 中几乎处处的 $x$，有 $$f\circ \gamma(x,r_n) \rightarrow h (x),\,n\rightarrow \infty.$$