Wigner-Smith 矩阵、矩阵布朗运动的指数泛函与矩阵 Dufresne 恒等式

我们考虑一段长度为 $L$ 且具反射边界的多通道导线。频率为 $\omega$ 的波的反射由散射矩阵 $\mathcal{S}(\omega)$ 描述，其编码了从一个通道散射到另一通道的概率幅。Wigner-Smith 时间延迟矩阵 $\mathcal{Q}=-\mathrm{i}\, \mathcal{S}^\dagger\partial_\omega\mathcal{S}$ 是另一个重要矩阵，编码了散射过程的时间特性。为研究其统计性质，我们将散射矩阵拆分为两个酉矩阵：$\mathcal{S}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}kL}\mathcal{U}_L\mathcal{U}_R$（在存在 TRS 时 $\mathcal{U}_L=\mathcal{U}_R^\mathrm{T}$），并引入一种针对 Wigner-Smith 矩阵的新对称化步骤：$\widetilde{\mathcal{Q}} =\mathcal{U}_R\,\mathcal{Q}\,\mathcal{U}_R^\dagger = (2L/v)\,\mathbf{1}_N -\mathrm{i}\,\mathcal{U}_L^\dagger\partial_\omega\big(\mathcal{U}_L\mathcal{U}_R\big)\,\mathcal{U}_R^\dagger$，其中 $k$ 为波矢，$v$ 为群速度。我们证明 $\widetilde{\mathcal{Q}}$ 可表示为矩阵布朗运动的指数泛函形式。对半无限长导线 $L\to\infty$，利用 Dufresne 恒等式的矩阵推广，我们直接恢复了 Brouwer 与 Beenakker [Physica E 9 (2001) p. 463] 关于 $\mathcal{Q}$ 特征值的联合分布。对有限长度 $L$，该指数泛函表示被用于计算一阶矩 $\langle\mathrm{tr}(\mathcal{Q})\rangle$、$\langle\mathrm{tr}(\mathcal{Q}^2)\rangle$ 与 $\langle\big[\mathrm{tr}(\mathcal{Q})\big]^2\rangle$。最后我们推导了在大 $N$ 极限下预解式 $g(z;L)=\lim_{N\to\infty}(1/N)\,\mathrm{tr}\big\{\big( z\,\mathbf{1}_N - N\,\mathcal{Q}\big)^{-1}\big\}$ 的偏微分方程。