$f(z)/f'(z)$ 在何处是单叶的？

令 ${\mathcal S}$ 表示单位圆盘 $\ID$ 内满足规范化条件 $f(0)=0= f'(0)-1$ 的所有单叶函数 $f$ 的族。算子 $P_f(z)=f(z)/f'(z)$ 与 Danikas-Ruscheweyh 算子 $T_f:=\int_{0}^{z}(tf'(t)/f(t))\,dt$ 之间存在紧密关联。本文主要考虑 $F=P_f$ 的单叶性问题，其中 $f$ 属于 ${\mathcal S}$ 的某些子类。在若干精确结果与非精确结果中，我们还证明了若 $f\in {\mathcal S}$，则 $F \in {\mathcal U}$ 在圆盘 $|z|<r$ 内成立，其中 $r\leq r_6\approx 0.360794$，并猜想此类 $r$ 的上界为 $\sqrt{2}-1$。