通过层势方法研究带有柱状端的广义斯托克斯算子的良定性

我们研究了广义斯托克斯算子\n\n$$\bsXi \ede \bsXi _{V,V_0} \ede \left(\begin{array}{ccc} \bsL + V & \nabla \\ \nabla^* & -V_0 \end{array}\right)$$\n\n在具有直柱状端的域 $\Omega$ 上，使用层势方法，其定义域为 $M \supset \Omega$。算子 $\bsXi_{0, 0}$ 为经典斯托克斯算子。在 $V$ 和 $V_{0}$ 具备适当的正性假设下，我们证明了 $\bsXi$ 为 Fredholm。这使我们能够定义单层势 $\bsS$ 和 $\frac12 + \bsK$。在进一步的正性假设下，我们证明了 $\bsS$ 和 $\frac12 + \bsK$ 也为 Fredholm。在 $V$ 和 $V_{0}$ 具备稍强的假设下，我们证明了算子 $\bsXi$、$\bsS$ 和 $\frac12 + \bsK$ 的可逆性。这些算子的可逆性导致了与 Dirichlet 边界条件相关的（线性）斯托克斯边值问题的良定性结果。这些结果的证明要求我们发展许多相关工具。特别是，我们发展了一个“代数工具套件”来处理层势的极限和跳跃关系。我们还为广义斯托克斯算子 $\bsXi$ 在具有直柱状端的流形上建立 Green 公式和能量估计，这需要对相关微分算子（如变形算子 $\Def$）进行细致的几何研究。为完整起见，我们回顾了适用于具有直柱状端的流形上的谱微分算子类，这些类在我们之前的论文中进行了研究（包括《具有柱状端的斯托克斯算子》, J. Diff. Equations, 2024）。作为应用，我们证明了在具有柱状端的域上，具有小数据的广义 Navier-Stokes 系统的 Dirichlet 问题的良定性结果。