分数阶增长耗散Benjamin-Ono方程适定性

本文致力于研究分数阶耗散 BO 方程 $u_t+\mathcal{H}u_{xx}-(D_x^{\alpha}-D_x^{\beta})u+uu_x=0$，$0< \alpha < \beta$ 的柯西问题。当 $1<\beta <2$ 时，我们证明在 $H^s(\mathbb{R})$（$s>-\beta/4$）中的整体适定性（GWP）。对于 $\beta\geq 2$，我们证明在 $H^s(\mathbb{R})$（$s>\max\{3/2-\beta , \, -\beta/2\}$）中的 GWP。我们确立其结果是最优的：当 $s<-\beta/2$ 时流映射 $u_0\mapsto u$ 在 $H^s(\mathbb{R})$ 中不是 $C^2$ 的，而当 $s<\min\{3/2-\beta , \, -\beta/4\}$ 时在 $H^s(\mathbb{R})$ 中不是 $C^3$ 的。当 $0< \beta<1$ 时，我们证明在 $H^s(\mathbb{R})$（$s\in \mathbb{R}$）中的不适定性。最后，若 $\beta >3/2$，我们证明在 $H^s(\mathbb{T})$（$s>\max\{3/2-\beta , \, -\beta/2\}$）中的 GWP，并推得当 $s<-\beta/2$ 时在 $H^s(\mathbb{T})$ 中缺乏 $C^2$ 正则性，特别地当 $\beta \geq 3$ 时得到最优结果。