具有突触可塑性的神经场方程的适定性与稳态解

我们考虑具有可塑性的 Amari 型神经场方程相关的初值问题：$$u_t(x,t)=-u(x,t)+\int_{\Omega}w(x,y)[1+\gamma g( u(x,t) - u(y,t) )] f(u(y,t))\; dy, \;(x,t) \in \Omega \times (0, \infty),$$ 其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^m$，$f$ 和 $g$ 是有界且连续可微的函数并具有有界导数，$\gamma\ge0$ 是突触可塑性系数。我们证明该问题在 $C_b(\mathbb{R}^m)$ 和 $L^1(\Omega)$（$\Omega$ 为紧集）中是适定的。证明基于考虑方程流时的经典不动点论证。分析了在无塑性极限（$\gamma\to0$）下解强收敛于 Amari 方程解的情况。最后，我们以一般方式证明了稳态解的存在性。作为一个特例，我们表明 Amari 模型在学习后，针对某种类型的增益调制会导致稳态 Schr"odinger 方程。