高维欧几里得Dirac算子的加权$L^2$理论

我们研究了在维度 $n\ge 3$ 的欧几里得Dirac算子的加权 $L^2$ 可解性。我们证明，在外部区域 $\mathbb{R}^{n}\setminus\overline{B(0,1)}$ 上配备对数权 $\varphi=n\log|x|$ 时，不存在二维Hörmander估计的高维类比能够仅由 $\Delta\varphi$ 控制；然后我们建立了权 $|x|^{m}$（$m\neq 0$）、二次权 $x_{1}^{2}$ 以及高斯权的充分小各向异性扰动下的加权可解性，在高斯情形下具有精确常数 $1/4$。障碍的出现是因为，在 $n\ge 3$ 的维度中，经典的加权恒等式仅在 $\Delta\varphi$ 与 $|\nabla\varphi|^{2}$ 之间存在结构关系时才是强制性的，这一条件排除了高斯权和许多多项式权。该方法基于共轭未知量 $U:=ue^{-\varphi/2}$ 的加权恒等式，以及合适的标量Clifford值乘子；该恒等式导出了所需的强制性估计，并且通过分解 $\Delta=-D^{2}$ 也给出了Poisson方程的加权 $L^2$ 可解性。